A véletlen változó a statisztikai kísérlet eredményének numerikus leírása. Olyan véletlenszerű változó, amely csak véges számot vagy an-t feltételezhet végtelen az értékek sorrendjét diszkrétnek mondják; azt, amely a valós számegyenesen valamilyen intervallumban bármilyen értéket felvehet, folyamatosnak mondják. Például egy véletlen változó, amely az adott kereskedésben egy napon eladott autók számát reprezentálja, diszkrét, míg egy véletlen változó, amely egy személy súlyát kilogrammban (vagy fontban) képviseli, folyamatos lenne.
Egy véletlen változó valószínűségi eloszlása leírja, hogy a valószínűségek hogyan oszlanak meg a véletlen változó értékein. Diszkrét véletlen változó esetén x , a valószínűség-eloszlást egy valószínűségi tömegfüggvény határozza meg, amelyet f ( x ). Ez a függvény megadja a véletlen változó minden egyes értékének valószínűségét. A diszkrét véletlenszerű változó valószínűségi függvényének kidolgozása során két feltételnek kell teljesülnie: (1) f ( x ) nem negatívnak kell lennie a véletlen változó minden egyes értékénél, és (2) a véletlen változó minden egyes értékének valószínűségének összegének egynek kell lennie.
A folytonos véletlen változó bármely értéket felvehet egy intervallumban a valós számegyenesen vagy intervallumok gyűjteményében. Mivel bármely intervallumban végtelen számú érték van, nem célszerű beszélni annak valószínűségéről, hogy a véletlen változó egy adott értéket vesz fel; ehelyett annak a valószínűségét veszik figyelembe, hogy egy folytonos véletlenszerű változó egy adott intervallumon belül fekszik.
Folyamatos esetben a valószínűségi tömegfüggvény megfelelője a valószínűségi sűrűségfüggvény, amelyet szintén jelölünk f ( x ). Folyamatos véletlen változó esetén a valószínűségi sűrűségfüggvény megadja a függvény magasságát vagy értékét bármely adott értéknél x ; nem adja meg közvetlenül annak a valószínűségét, hogy a véletlen változó egy adott értéket vesz fel. A grafikon alatti terület azonban f ( x ), amely valamilyen intervallumnak felel meg, a f ( x ) megadja annak valószínűségét, hogy a változó az adott intervallumon belül értéket vesz fel. A valószínűségi sűrűségfüggvénynek két követelménynek kell megfelelnie: (1) f ( x ) nem negatívnak kell lennie a véletlen változó minden egyes értékére, és (2) a integrál A véletlen változó összes értéke felett meg kell egyeznie.
A véletlenszerű változó várható értéke vagy átlaga - jelöli IS ( x ) vagy μ - a véletlen változó feltételezhető értékeinek súlyozott átlaga. Diszkrét esetben a súlyokat a valószínűségi tömegfüggvény, a folytonos esetben pedig a valószínűségi sűrűségfüggvény adja meg. A diszkrét és folytonos véletlen változók várható értékeinek kiszámításához a képleteket a 2., illetve a 3. egyenlet adja.
IS ( x ) = Σ x f ( x ) (kettő)
IS ( x ) = ∫ x f ( x ) d x (3)
Egy véletlen változó varianciája, amelyet Var ( x ) vagy σkettő, az átlagtól négyzetes eltérések súlyozott átlaga. Diszkrét esetben a súlyokat a valószínűségi tömegfüggvény, a folytonos esetben pedig a valószínűségi sűrűségfüggvény adja meg. A diszkrét és folytonos véletlen változók varianciáinak kiszámítására szolgáló képleteket a 4., illetve az 5. egyenlet adja meg. A szórás , amelyet σ jelöl, a variancia pozitív négyzetgyöke. Mivel a szórást a véletlen változóval megegyező egységekben, a varianciát pedig négyzetegységekben mérjük, gyakran a szórás az előnyös mérték.
Hol( x ) = σkettő= Σ ( x - μ)kettő f ( x ) (4)
Hol( x ) = σkettő= ∫ ( x - μ)kettő f ( x ) d x (5)
A két legelterjedtebb diszkrét valószínűségi eloszlás a binomiális és a Poisson. A binomiális valószínűségi tömegfüggvény (6. egyenlet) biztosítja annak valószínűségét x sikerek fognak bekövetkezni n binomiális kísérlet kísérletei.
A binomiális kísérletnek négy tulajdonsága van: (1) egy sorozatból áll n azonos próbák; (2) két kimenetel, siker vagy kudarc lehetséges minden kísérletnél; (3) bármely kísérlet sikere valószínűsége, jelezve o , nem változik tárgyalásról tárgyalásra; és (4) a vizsgálatok függetlenek. Tegyük fel például, hogy ismert, hogy a kétéves gépkocsik tulajdonosainak 10 százalékának problémája volt autója elektromos rendszerével. A 10 tulajdonosból álló csoportból pontosan 2 olyan tulajdonos megtalálásának valószínűségének kiszámításához, amelynek elektromos rendszernek problémája volt, a binomiális valószínűségi tömegfüggvény használható n = 10, x = 2, és o = 0,1 a 6. egyenletben; ebben az esetben a valószínűség 0,1937.
A Poisson valószínűség-eloszlást gyakran használják egy létesítménybe egy adott időtartamon belül érkezők számának modelljeként. Például véletlenszerű változóként meghatározható a légitársaság helyfoglalási rendszerébe 15 percen át érkező telefonhívások száma. Ha ismert az érkezések átlagos száma egy 15 perces intervallum alatt, akkor a 7. egyenlet által megadott Poisson valószínűségi tömegfüggvény felhasználható a x Érkezés.
Tegyük fel például, hogy a 15 perces időszakban érkező hívások átlagos száma 10. A kiszámításához annak valószínűségét, hogy 5 hívás érkezik a következő 15 percen belül, μ = 10 és x = 5 helyettesítik a 7. egyenletben, így 0,0378 a valószínűség.
A statisztikákban a legszélesebb körben használt folyamatos valószínűségeloszlás a normális valószínűségeloszlás. A normál valószínűségi sűrűségfüggvénynek megfelelő grafikon μ = 50 átlaggal és σ = 5 szórással látható.3. ábra. Mint minden normális eloszlási grafikon, ez is harang alakú görbe. A normális valószínűség-eloszlás valószínűségei statisztikai táblázatokkal kiszámíthatók a normál normális valószínűség-eloszláshoz, amely egy normális valószínűség-eloszlás, nulla átlaggal és egy szórással. Egy egyszerű matematikai képletet használnak arra, hogy a normál valószínűség-eloszlásból származó átlagértékeket μ átlagértékkel és σ szórással a normál eloszlás megfelelő értékévé alakítsák. Ezután a szokásos normál eloszlás táblázatait használják a megfelelő valószínűségek kiszámításához.
A dopamin és a noradrenalin a következők közé sorolható
normális valószínűségeloszlás 3. ábra: Normális valószínűségeloszlás átlaggal ( μ ) és szórása ( σ 5. oldal. Encyclopædia Britannica, Inc.
Sok más diszkrét és folyamatos valószínűségeloszlás létezik. Egyéb széles körben alkalmazott diszkrét eloszlások közé tartozik a geometriai, a hipergeometrikus és a negatív binomiális; egyéb általánosan használt folyamatos eloszlások: az egyenletes, az exponenciális, a gamma, a chi-négyzet, a béta, t és F.
Copyright © Minden Jog Fenntartva | asayamind.com